[Mechanical] 메쉬, 무엇으로 쪼개지는 걸까요? (1/3)

메쉬, 무엇으로 쪼개지는 걸까요? (1/3)

Mechanical이 만드는 요소의 모양·차수·차원

들어가며

Generate Mesh를 누르면 화면이 잘게 나뉩니다. 그런데 그 조각 하나하나가 정확히 무엇인지 들여다보신 적은 의외로 드물 겁니다.

지난 편들에서 메쉬 이야기는 여러 번 나왔습니다 — 품질을 확인하라고, 수렴성을 검증하라고, 솔버가 안 풀리면 메쉬부터 보라고요. 그런데 그 이야기들이 전부 요소(Element)를 이미 아는 셈 치고 진행됐습니다. 이번 편에서 그 전제를 채워 넣겠습니다.

메쉬 이야기는 세 편으로 나눴습니다 — 이번 1편은 요소의 종류, 2편은 품질, 3편은 조밀도(수렴성 검토)입니다. 

요소란 무엇인가

유한요소법은 연속체를 유한한 개수의 요소로 쪼개고, 각 요소 안에서는 변위가 단순한 함수(형상 함수)로 변한다고 가정합니다. 즉, 해석 결과는 '진짜 답'이 아니라 메쉬라는 근사 위에서 계산된 답입니다.

조금 더 들어가면 이렇습니다. 솔버가 실제로 푸는 미지수는 절점(Node)의 변위입니다. 요소 안쪽의 값은 절점 값을 형상 함수로 보간해서 얻고, 응력은 그 보간된 변위를 미분해서 나옵니다.

그래서 응력은 변위보다 항상 한 단계 거친 값이고, 메쉬에 훨씬 민감합니다. 변위는 그럭저럭 맞는데 응력만 튀는 경우가 흔한 이유입니다.

요소를 규정하는 것은 세 가지입니다 — 모양, 차수, 차원. 차례로 보겠습니다.

모양: Tet · Hex · Wedge · Pyramid

3D 해석에서 만나는 요소는 사실상 네 가지입니다. 2D라면 사각형(Quad)과 삼각형(Tri) 둘뿐이고요.

• Tet (사면체): 어떤 형상에도 자동으로 채워집니다. Mechanical이 기본으로 쓰는 방식이라 별다른 설정 없이 Generate Mesh를 누르면 대개 이쪽입니다.
• Hex (육면체): 절점 수 대비 정확도가 좋아서 같은 정밀도를 더 적은 요소로 얻습니다. 다만 스윕이 가능하거나 충분히 단순한 형상이어야 만들어집니다.
• Wedge (쐐기): 스윕 메쉬에서 단면이 삼각형인 자리에 생깁니다.
• Pyramid (피라미드): 육면체 영역과 사면체 영역이 만나는 경계를 이어줍니다. 직접 만들 일은 없고, 섞인 메쉬에서 자동으로 나타납니다.

TIP: "Hex가 좋다"는 말을 듣고 억지로 Hex를 고집하실 필요는 없습니다. 형상을 스윕 가능하게 만드느라 며칠 쓰는 것보다, 2차 사면체(Tet10)로 빠르게 돌리고 관심 부위만 조밀하게 하는 편이 대개 낫습니다. Hex가 값어치를 하는 건 요소 수가 계산 시간을 좌우할 만큼 커졌을 때입니다.

차수: 1차와 2차

같은 사면체라도 절점이 4개인 것과 10개인 것이 있습니다. 모서리에만 절점이 있으면 1차 요소, 모서리 사이에 중간 절점이 하나씩 더 있으면 2차 요소입니다. 이 절점 하나가 생각보다 많은 것을 바꿉니다.

1차 요소는 요소 안에서 변위가 직선으로만 변합니다. 변형률이 요소 안에서 일정하다는 뜻이라, 요소 하나로는 굽힘을 표현할 수 없습니다. 결과는 실제보다 뻣뻣하게 계산되고, 응력도 낮게 나옵니다. 1차 사면체(Tet4)가 특히 심합니다.

형상도 마찬가지입니다. 모서리가 직선이라 곡면을 깎아 버립니다. 위 그림처럼 요소 세 개로 원호를 감싸면 1차는 눈에 띄게 잘려 나가지만, 2차는 중간 절점이 곡면을 따라가며 거의 붙습니다. 4-2편에서 다룰 Jacobian Ratio가 "곡면에 붙은 2차 요소에서 주로 의미가 있다"고 하는 이유가 이것입니다.

Mesh 선택 > Details 창 > Element Order

Mechanical의 기본값은 Program Controlled이고, 구조해석에서는 2차 요소가 선택됩니다. 그대로 두시면 됩니다. 문제는 누군가 이 값을 Linear로 바꿔 둔 모델을 물려받았을 때입니다.

TIP: 메쉬를 조밀하게 만들기 전에 요소 차수부터 확인하세요. 3편에서 다룰 수렴성 검토에서, 차수 하나 때문에 반복 횟수가 완전히 달라집니다. 1차로는 여섯 번을 돌아야 자리를 잡던 모델이 2차로는 첫 해석부터 오차 0.1% 수준으로 나오기도 합니다.

그렇다면 1차는 언제 쓰느냐 — 충돌이나 성형처럼 큰 변형을 다루는 해석에서는 1차가 기본입니다. 입문 단계의 정적 구조해석이라면 2차를 유지하시는 편이 안전합니다.

차원: Solid · Shell · Beam

마지막은 ‘형상을 몇 차원으로 볼 것인가?’입니다. 판단 기준은 형상비 하나입니다.

얇은 판을 Solid로 풀면 두께 방향으로도 요소가 들어가야 합니다. 굽힘을 보려면 두께 방향에 최소 두 겹이 필요한데, 그러면 면 방향 요소도 같이 작아져야 해서 요소 수가 급격히 늘어납니다. 억지로 크기를 유지하면 이번엔 요소가 길쭉해져 Aspect Ratio가 나빠지고요. 어느 쪽이든 손해입니다.

그래서 두께가 다른 치수에 비해 충분히 얇으면 면 하나로 모델링하고 두께는 숫자로 주는 Shell이 유리합니다. 두 방향이 모두 가는 프레임이나 트러스라면 선으로 모델링하는 Beam이 같은 역할을 합니다.

다만 Shell과 Beam은 형상을 단순화한 만큼, 볼 수 없는 것도 생깁니다. 두께 방향의 응력 분포나 국부적인 접촉 압력처럼 3차원 형상 자체가 중요한 곳은 Solid로 봐야 합니다.

내 모델은 무엇으로 채워졌을까

지금 열려 있는 모델이 어떤 요소로 채워졌는지는 두 군데서 확인합니다.

Mesh 선택 > Details 창 > Statistics

절점 수(Nodes)와 요소 수(Elements)가 나옵니다. 같은 형상에서 요소 수 대비 절점 수가 많으면 2차 요소를 쓰고 있다는 신호입니다.

Mesh 선택 > Details 창 > Quality > Mesh Metric

 

품질 히스토그램이 뜨는데, 그 범례가 곧 요소 타입입니다. Tet10, Hex20, Wed15처럼 이름과 절점 수가 함께 표시되니 어떤 요소가 얼마나 섞여 있는지 한눈에 보입니다. 2편에서 이 화면을 다시 자세히 보겠습니다.

여러 바디가 섞인 모델이라면 Mesh 객체의 Worksheet 탭도 함께 보세요. 바디별·요소 타입별로 나눠 보여 줍니다.

정리

• 모양은 Mechanical에 맡겨도 대체로 괜찮습니다. Tet으로 시작하고, 요소 수가 부담될 때 Hex를 고민하세요.
• 차수는 직접 확인하셔야 합니다. 기본값인 2차가 맞습니다. Linear로 바뀌어 있다면 메쉬를 쪼개기 전에 되돌리는 편이 훨씬 효과적입니다.
• 차원은 형상비로 판단합니다. 얇은 판을 Solid로 붙들고 있으면 요소 수와 품질 양쪽에서 손해를 봅니다.

이제 요소가 무엇인지 알았으니, 다음은 그 요소 하나하나가 잘생겼는지를 볼 차례입니다. 이어지는 2편에서 Element Quality · Skewness · Aspect Ratio를 읽는 법과, Good도 Bad도 아닌 회색지대의 요소를 어떻게 판단하는지 정리하겠습니다.

 

 

 

 

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